动画与物理模拟

动画基础

动画本质上是连续播放序列帧，利用人眼的视觉暂留产生运动错觉。

关键帧动画 Keyframe Animation

由艺术家手动设置关键姿态（关键帧），中间帧由计算机自动插值生成。

线性插值简单但会导致运动僵硬。实际常用样条插值（如 Catmull-Rom 样条），使运动曲线更平滑。

物理模拟

对真实世界物理规律的数值近似，相较于人工设置关键帧，物理模拟产生的动画更加真实，也是现代图形学中动画的主要实现方式。

质点弹簧系统 Mass-Spring System

质点弹簧系统是最基础的物理模拟模型，由质点和弹簧组成，用于模拟布料、头发等柔性物体。

理想弹簧

弹簧两端分别连接两个质点 a 和 b。根据胡克定律：

$$f_{a\to b}=k_s\cdot (|{\mathbf{p}}_a-{\mathbf{p}}_b|-l)$$

其中 $k_s$ 为弹簧劲度系数，$l$ 为弹簧静止长度。

力的方向：由 a 指向 b（拉伸时拉回，压缩时推开）。

阻尼力

仅有弹簧的系统会永远振动。引入阻尼力使能量衰减：

$$f=-k_d\cdot ({\mathbf{v}}_a-{\mathbf{v}}_b)$$

阻尼力与两质点的相对速度成正比，方向相反，模拟能量耗散。

阻尼力只减缓振动速度，不会改变弹簧的静止长度。

布料模拟中的弹簧结构

仅用结构弹簧（连接相邻顶点）不足以模拟真实布料，因为布料抵抗剪切和弯曲。实际需要三种弹簧：

• 结构弹簧（Structural）：连接 (i,j) 与 (i±1,j)、(i,j±1)，抵抗拉伸
• 剪切弹簧（Shear）：连接 (i,j) 与 (i±1,j±1)，抵抗剪切变形
• 弯曲弹簧（Bend）：连接 (i,j) 与 (i±2,j)、(i,j±2)，抵抗弯曲

粒子系统 Particle System

粒子系统用于模拟烟雾、火焰、水流、爆炸等模糊现象。

基本框架：

1. 生成粒子：设定初始位置、速度、生命周期
2. 更新粒子：每帧计算受力（重力、风力、碰撞等），更新速度和位置
3. 移除死亡粒子：生命周期结束或超出边界的粒子
4. 渲染粒子：将粒子渲染为小面片或体积元素

粒子之间通常不计算相互作用力，这是粒子系统高效的关键。

运动学

正向运动学 Forward Kinematics

给定各关节的角度，求解末端效应器（end effector）的位置。

关节类型：

• 旋转关节（Revolute）：仅能绕轴旋转，1 DOF
• 球关节（Ball/Socket）：可绕多个轴旋转，3 DOF
• 平移关节（Prismatic）：仅能沿轴平移，1 DOF

通过变换矩阵链式相乘计算末端位置：

$$P_{end}=M_0\cdot M_1({\theta }_1)\cdot M_2({\theta }_2)\cdot ...\cdot M_n({\theta }_n)\cdot P_{origin}$$

正向运动学计算简单，但动画师通常关心的是"手要到达哪里"，而非"关节该转多少度"。

逆运动学 Inverse Kinematics

给定末端效应器的目标位置，反求各关节角度。这是一个非线性优化问题。

求解方法：

• 雅可比矩阵法（Jacobian）：利用雅可比矩阵 $J=\frac{\partial \mathbf{e}}{\partial \theta }$ 建立关节角速度与末端速度的线性关系 $\dot{\mathbf{e}}=J\dot{\theta }$，迭代求解 $\mathrm{\Delta }\theta =J^{-1}\mathrm{\Delta }\mathbf{e}$。当 J 不可逆时使用伪逆 $J^{+}$
• CCD（Cyclic Coordinate Descent）：从末端关节开始逐级旋转，每次使当前关节指向目标方向，收敛较慢但实现简单

IK 可能存在多解或无解的情况，需要通过约束和优先级来处理。

骨骼绑定与蒙皮 Rigging & Skinning

骨骼绑定 Rigging

为角色模型建立骨骼层级结构，定义骨骼之间的父子关系。每个骨骼节点记录相对于父节点的变换。

动画师通过移动骨骼来驱动角色姿态，相比直接操控顶点高效得多。

蒙皮 Skinning

蒙皮决定骨骼运动如何影响顶点位置。

线性混合蒙皮（LBS / Skeletal Subspace Deformation）：

$${\mathbf{v}}^{\prime }=\sum _i{w}_i\cdot M_i\cdot \mathbf{v}$$

其中 $w_i$ 为骨骼 i 对该顶点的权重（$\sum w_i=1$），$M_i$ 为骨骼 i 的变换矩阵。

LBS 的问题：

• 关节处容易出现"糖纸效应"（candy-wrapper artifact）——肘部弯曲时体积塌陷
• 改进方案：双四元数蒙皮（DQS），用双四元数混合代替矩阵混合，能保持体积

动作捕捉 Motion Capture

通过传感器记录真实演员的动作数据来驱动虚拟角色。

方法	原理	优点	缺点
光学式	多个相机追踪反光标记点	精度高，动作自由	昂贵，遮挡问题
惯性式	穿戴惯性传感器	便携，无遮挡	精度较低，漂移
机械式	外骨骼机械装置	成本低	限制运动范围

动作捕捉能生成非常自然的动画，但数据需要清理和重定向才能应用到不同的角色上。

单粒子模拟与数值积分

运动方程

单粒子在力场中的运动由牛顿第二定律描述：

$$m\cdot \ddot{\mathbf{x}}=\mathbf{F}(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}},t)$$

这是一个二阶常微分方程，可改写为一阶方程组：

$$\{\begin{array}{l}\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{v}\\ \dot{\mathbf{v}}=\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{v},t)/m\end{array}$$

显式欧拉方法 Forward/Explicit Euler

当前帧的状态直接推算下一帧：

$${\mathbf{v}}_{t+\mathrm{\Delta }t}={\mathbf{v}}_t+\mathrm{\Delta }t\cdot {\mathbf{a}}_t$$$${\mathbf{x}}_{t+\mathrm{\Delta }t}={\mathbf{x}}_t+\mathrm{\Delta }t\cdot {\mathbf{v}}_t$$

优点：简单直接。 缺点：无条件不稳定——误差随步长累积，系统能量不守恒，弹簧系统会逐渐发散。

中点法 Midpoint Method

改进的显式方法，先计算半步位置，用半步点的速度做全程更新：

$${\mathbf{v}}_{mid}={\mathbf{v}}_t+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2}\cdot \mathbf{a}({\mathbf{x}}_t)$$$${\mathbf{x}}_{mid}={\mathbf{x}}_t+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2}\cdot {\mathbf{v}}_t$$$${\mathbf{x}}_{t+\mathrm{\Delta }t}={\mathbf{x}}_t+\mathrm{\Delta }t\cdot {\mathbf{v}}_{mid}$$

自适应步长 Adaptive Step Size

先以步长 $\mathrm{\Delta }t$ 计算一步得到 ${\mathbf{x}}_a$，再以步长 $\mathrm{\Delta }t/2$ 计算两步得到 ${\mathbf{x}}_b$，比较两者的差异：

$$|{\mathbf{x}}_b-{\mathbf{x}}_a|>\text{threshold}$$

如果误差过大则减半步长重新计算，在误差可接受范围内动态调整步长。

隐式欧拉方法 Backward/Implicit Euler

用下一帧的加速度来更新速度：

$${\mathbf{v}}_{t+\mathrm{\Delta }t}={\mathbf{v}}_t+\mathrm{\Delta }t\cdot \mathbf{a}({\mathbf{x}}_{t+\mathrm{\Delta }t})$$$${\mathbf{x}}_{t+\mathrm{\Delta }t}={\mathbf{x}}_t+\mathrm{\Delta }t\cdot {\mathbf{v}}_{t+\mathrm{\Delta }t}$$

需要求解非线性方程组，通常用牛顿迭代法。计算量大，但无条件稳定。

龙格-库塔方法 Runge-Kutta Methods

RK4 是常用的四阶方法，每步采样四个点的导数值做加权平均：

$${\mathbf{k}}_1=\mathrm{\Delta }t\cdot f({\mathbf{y}}_t)$$$${\mathbf{k}}_2=\mathrm{\Delta }t\cdot f({\mathbf{y}}_t+\frac{1}{2}{\mathbf{k}}_1)$$$${\mathbf{k}}_3=\mathrm{\Delta }t\cdot f({\mathbf{y}}_t+\frac{1}{2}{\mathbf{k}}_2)$$$${\mathbf{k}}_4=\mathrm{\Delta }t\cdot f({\mathbf{y}}_t+{\mathbf{k}}_3)$$$${\mathbf{y}}_{t+\mathrm{\Delta }t}={\mathbf{y}}_t+\frac{1}{6}({\mathbf{k}}_1+2{\mathbf{k}}_2+2{\mathbf{k}}_3+{\mathbf{k}}_4)$$

精度为 $O(\mathrm{\Delta }{t}^4)$，远优于欧拉方法的 $O(\mathrm{\Delta }t)$。

基于位置的方法 Position-Based Dynamics

直接修正质点位置以满足约束（如弹簧静止长度、不可压缩性），而非通过力的积分。简单、稳定、不易发散，被广泛用于游戏物理引擎。

刚体模拟 Rigid Body Simulation

刚体不会发生形变，模拟时需额外处理旋转。

状态量：

• 位置 $\mathbf{x}$ 和速度 $\mathbf{v}$
• 朝向（四元数 $\mathbf{q}$）和角速度 $\mathit{\omega }$

力矩 $\mathit{\tau }$ 与角加速度 $\mathit{\alpha }$ 的关系：$\mathit{\tau }=I\cdot \mathit{\alpha }$，其中 $I$ 为惯性张量。

每帧更新朝向时使用四元数避免万向节锁。

流体模拟

基于粒子的方法 SPH

平滑粒子流体动力学（Smoothed Particle Hydrodynamics）将流体看作大量粒子，粒子之间通过核函数平滑处理物理量，不需要网格。

基于网格的方法

将空间划分为网格，在每个格点求解纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），能较好地保持体积和不可压缩性。

混合方法

结合粒子和网格的优点，如 FLIP / PIC 方法，常用于电影级特效。

方法	优点	缺点
粒子法 (SPH)	质量守恒自然满足，实现简单	不可压缩性弱
网格法 (Eulerian)	压力求解精确，不可压缩性好	体积守恒难保证
混合法 (FLIP/PIC)	兼顾两者优点	实现复杂